Выражение из повести (глава 1) «Тарас Бульба» Н. В. Гоголя (1809—1852).
Слова Тараса Бульбы, обращенные к его сыну Остапу, приехавшему из бурсы одетым в новую, диковинную свитку (свитка — название мужской и женской верхней длинной распашной одежды из домотканого сукна, разновидность кафтана).
Новая свитка Остапа очень забавляет Тараса, и он просит сына «поворотиться», чтобы лучше рассмотреть его наряд.
Фраза используется как шутливо-иронические обращение к кому-либо с просьбой показать себя получше (как вырос, похорошел, поправился), показать свою обновку, новую прическу и так далее.
А поворотись-ка, сынку!